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求证:数列????an收敛,并求其极限值。
就地坐下,随手在草稿纸上写了起来。
只扫一眼就记住题目了?李诗眼里露出吃惊的神色,却没有忘记打开手机的录像功能,将风大包解题的过程拍了下来。
她刚才骗了风大包,其实她的手机是有电的。
解答步骤:
要证明数列有界:
首先,我们需要证明数列????an是有上界的。
考虑函数??(??)=??2+12??f(x)=2xx2+1,我们可以计算其导数:
??′(??)=??????(??2+12??)=2???2???(??2+1)?24??2=4??2?2??2?24??2=2??2?24??2=2(??2?1)4??2=??2?12??2f′(x)=dxd(2xx2+1)=4x22x?2x?(x2+1)?2=4x24x2?2x2?2=4x22x2?2=4x22(x2?1)=2x2x2?1
当??>1x>1时,??′(??)>0f′(x)>0,因此??(??)f(x)在??>1x>1上是增函数。
由于??1>1a1>1,我们可以得到:
??2=??12+12??1>12+12?1=1a2=2a1a12+1>2?112+1=1
假设????>1ak>1,那么:
????+1=????2+12????>12+12?1=1ak+1=2akak2+1>2?112+1=1
由归纳法,对所有的??≥1n≥1,都有????>1an>1。
接下来,我们证明数列是有上界的。
……
转眼之间,已写了满满一页稿子!这不过是解答过程的五分之一篇幅。
李诗彻底震惊了,抄答案也没这么快吧?
这么复杂的数学题,风大包竟然不经思考似的,一路流畅写了下来。
满满五页纸!
这道题其实李诗早已经解了出来,不过却远远没有风大包这么快的速度。那根本就是不带思索的,解题步骤自然而流畅,其中有几步解法非常巧妙,是她想也想不到的。
十分钟不到,写了整整五页纸,已经是最精简的解法了。
李诗不由啧啧称奇,看向风大包的眼神中,流露出些许复杂的情绪,“风大包,对不起!”她说。
“什么对不起?”风大包愣了一下。
李诗低下头,道:“我不该怀疑你。”
风大包如堕五里雾中,“怀疑什么?”
“没什么……你很快会明白的。”李诗说完,转过身子,离开了训练场。
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